Kiinalainen laatikko - osa 2

Kiinalainen laatikko on neliönmuotoinen ja sen sisällä on neljä suurta rengasta. Kukin rengas koskettaa toisiaan ja vielä laatikon sisäpintojakin. Isojen renkaiden keskellä on pienempi rengas, joka sivuaa ympäröiviä suurempia renkaita. Tehtävänä on laskea pienen renkaan pinta-ala. Haaste on melko helppo ratkaista, sillä tehtävän puimiseen riittävät koulun matematiikan opit. Aloitetaan merkitsemällä laatikon sivun pituudeksi 4. Yhden ison renkaan säde on näin ollen 1, koska renkaan halkaisija on 2 eli sama kuin puolet laatikon sivun pituudesta. Olkoon renkaan halkaisija a. Ison renkaan ympärille voidaan hahmotella neliö, joka oheisessa kuvassa on piirretty katkoviivalla. Olkoon neliön halkaisija d. Sivun pituus on sama kuin renkaan halkaisija a.

Koulun geometrian tunneilta muistuu mieleen neliön halkaisijan laskukaava:

d = a√2

Jotta pienen renkaan pinta-ala voidaan laskea, tarvitaan renkaan säde, joka saadaan nyt laskemalla se tunnetuilla arvoilla. Olkoon pienen renkaan säde r. Kuviosta nähdään, että säde r on osa neliön halkaisijaa d. Säde lasketaan vähentämällä halkaisijasta ensin ison renkaan halkaisija, joka on 1. Jäljelle jäävä erotus pitää vielä jakaa kahdella, koska neliön halkaisijasta jää vähennyslaskun jälkeen molempiin päihin yhtä pitkät janat. Muodostetaan kaava.

    d       a√2
r = - - 1 = --- - 1
    2        2

Sijoitetaan luvut kaavaan.

    2√2
r = --- - 1
     2

Supistetaan.

r = √2 - 1

Lasketaan pienen renkaan pinta-ala edellä saadulla säteellä sijoittamalla se ympyrän pinta-alan kaavaan.

A = πr² = π(√2 - 1)²

Pienen renkaan pinta-ala on noin 0,5378. Tuloksesta voidaan vielä laskea suhteellinen osuus verrattuna kiinalaisen laatikon pinta-alaan. Olkoon laatikon pinta-ala A?. Neliön pinta-alan kaavalla

A = a²

saadaan sijoituksen

A? = 2a² = 4²

jälkeen laatikon pinta-alaksi 16. Lasketaan pinta-alojen suhde.

A            0,5378
-- ⋅ 100 % = ------ ⋅ 100 % ≈ 3,4 %
A?             16

Pienen renkaan pinta-ala on noin 3,4 % laatikon pinta-alasta 16.

Julkaistu keskiviikkona 19.10.2016 klo 17:15 avainsanoilla matematiikka ja pulmat.

Edellinen
Kiinalainen laatikko - osa 1
Seuraava
Ilmapotretit
Evästeiden käyttö

Käytän sivustollani evästeitä tarjotakseni parhaimman mahdollisen lukukokemuksen blogini lukijoille. Jos jatkat sivustoni käyttöä, oletan, että hyväksyt evästeiden käytön sivustollani.

Lisätietoja evästeiden käytöstä